Logarithmes et exponentielles

L'intuition

Imagine que tu es un agriculteur et tu as une parcelle de terre. Tu y plantes des graines. La croissance de tes plantes, si tout va bien, n'est pas linéaire : au début, ça pousse doucement, puis ça s'accélère, ça prend de l'ampleur. C'est ça, la fonction exponentielle, $e^x$. Elle décrit des phénomènes qui augmentent de plus en plus vite, où le taux de croissance est proportionnel à la quantité déjà présente. Pense à un capital qui rapporte des intérêts composés, ou à la propagation d'une épidémie.

Maintenant, si tu observes tes plantes et que tu veux savoir combien de temps il a fallu pour qu'elles atteignent une certaine taille, tu fais l'opération inverse. Tu pars du résultat (la taille) pour retrouver la "cause" (le temps). C'est le rôle de la fonction logarithme népérien, $\ln(x)$. Elle "déroule" l'exponentielle. C'est pour ça qu'elles sont dites "réciproques" l'une de l'autre : l'une annule l'effet de l'autre.

Le cours

I. La fonction logarithme népérien ($\ln$)

1. Définition et domaine de définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.

• Domaine de définition : $\ln(x)$ est définie uniquement pour $x > 0$.
• Valeur particulière : $\ln(1) = 0$.
• Dérivée : Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.
• Sens de variation : Puisque $\frac{1}{x} > 0$ pour $x > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

2. Propriétés algébriques

Ces propriétés sont fondamentales pour manipuler les expressions avec $\ln$. Pour tous $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout $n \in \mathbb{Q}$ :

• Produit : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
• Quotient : $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• Puissance : $\ln(a^n) = n \ln(a)$
• Inverse : $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ (c'est un cas particulier du quotient avec $b=1$)
• Racine carrée : $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ (c'est un cas particulier de la puissance avec $n=\frac{1}{2}$)

3. Limites importantes

Ces limites sont essentielles pour l'étude de fonctions et le calcul de limites complexes.

• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• Croissance comparée (en $+\infty$) : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. Cela signifie que $x$ "l'emporte" sur $\ln(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
• Croissance comparée (en $0^+$) : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$. Cela signifie que $x$ "l'emporte" sur $\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$.
• Taux d'accroissement : $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$. C'est la dérivée de $\ln(x)$ en $x=1$.

Observe comment la courbe de $\ln(x)$ croît beaucoup plus lentement que la droite $y=x$ lorsque $x$ devient grand.

4. Dérivée de $\ln(u(x))$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

II. La fonction exponentielle ($\exp$ ou $e^x$)

1. Définition et domaine de définition

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction $\ln$.

• Domaine de définition : Elle est définie sur tout $\mathbb{R}$.
• Ensemble image : Ses valeurs sont toujours strictement positives, c'est-à-dire $e^x \in ]0, +\infty[$.
• Valeur particulière : $e^0 = 1$.
• Dérivée : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$. C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) qui est sa propre dérivée.
• Sens de variation : Puisque $(e^x)' = e^x > 0$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Propriétés algébriques

Ces propriétés sont le miroir de celles du $\ln$. Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{Q}$ :

• Produit : $e^{a+b} = e^a e^b$
• Quotient : $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
• Puissance : $(e^a)^n = e^{na}$
• Inverse : $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$

3. Relations entre $\ln$ et $\exp$ (fonctions réciproques)

C'est le point clé pour résoudre les équations et inéquations.

• Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

4. Limites importantes

Ces limites sont cruciales pour l'étude de fonctions et le calcul de limites complexes.

• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• Croissance comparée (en $+\infty$) : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$. Cela signifie que $e^x$ "l'emporte" sur $x$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
• Croissance comparée (en $-\infty$) : $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$. Cela signifie que $e^x$ "l'emporte" sur $x$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
• Taux d'accroissement : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$. C'est la dérivée de $e^x$ en $x=0$.

Observe comment la courbe de $e^x$ croît beaucoup plus vite que la droite $y=x$ lorsque $x$ devient grand.

5. Dérivée de $e^{u(x)}$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$

III. Résolution d'équations et d'inéquations

La méthode est toujours la même : isoler le $\ln$ ou l'exponentielle, puis utiliser les propriétés de réciprocité.

1. Équations et inéquations avec $\ln$

Règle d'or : Toujours commencer par déterminer le domaine de validité de l'équation ou de l'inéquation (les arguments des $\ln$ doivent être strictement positifs).

• Équation type $\ln(A) = \ln(B)$ : $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A>0$ et $B>0$).
• Équation type $\ln(A) = k$ : $\ln(A) = k \iff A = e^k$ (avec $A>0$).
• Inéquation type $\ln(A) < \ln(B)$ : $\ln(A) < \ln(B) \iff A < B$ (avec $A>0$ et $B>0$, car $\ln$ est strictement croissante).
• Inéquation type $\ln(A) < k$ : $\ln(A) < k \iff 0 < A < e^k$.
• Inéquation type $\ln(A) > k$ : $\ln(A) > k \iff A > e^k$.

2. Équations et inéquations avec exponentielles

• Équation type $e^A = e^B$ : $e^A = e^B \iff A = B$.
• Équation type $e^A = k$ : Si $k \le 0$, pas de solution. Si $k > 0$, $e^A = k \iff A = \ln(k)$.
• Inéquation type $e^A < e^B$ : $e^A < e^B \iff A < B$ (car $e^x$ est strictement croissante).
• Inéquation type $e^A < k$ : Si $k \le 0$, pas de solution. Si $k > 0$, $e^A < k \iff A < \ln(k)$.
• Inéquation type $e^A > k$ : Si $k \le 0$, solution est $\mathbb{R}$ (car $e^A > 0$ toujours). Si $k > 0$, $e^A > k \iff A > \ln(k)$.

IV. Étude de fonctions

L'étude de fonctions impliquant $\ln$ ou $e^x$ suit la démarche habituelle :

1. Domaine de définition : Attention aux conditions $x>0$ pour $\ln(x)$ et $u(x)>0$ pour $\ln(u(x))$.
2. Calcul des limites : Aux bornes du domaine de définition, en utilisant les limites de référence et les croissances comparées.
3. Calcul de la dérivée : En utilisant les formules de dérivation $(\ln(u))' = u'/u$ et $(e^u)' = u'e^u$.
4. Étude du signe de la dérivée : Pour déterminer le sens de variation de la fonction.
5. Tableau de variations : Récapitule toutes les informations.
6. Branches infinies : Asymptotes (verticales, horizontales, obliques).

Exemple résolu

Voici un exercice type que tu peux rencontrer à l'examen.

Extrait d'annale : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln(4)$.

1. 1

   1. Déterminer le domaine de validité de l'équation.

   Pour que $\ln(x-1)$ soit défini, il faut $x-1 > 0 \implies x > 1$. Pour que $\ln(x+2)$ soit défini, il faut $x+2 > 0 \implies x > -2$. L'intersection de ces deux conditions est $x > 1$. Donc, le domaine de validité est $D = ]1, +\infty[$.

2. 2

   2. Appliquer les propriétés du logarithme pour simplifier l'équation.

3. 3

   3. Éliminer le logarithme.

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   4. Résoudre l'équation algébrique résultante.

5. 5

   C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$.

6. 6

   Les solutions sont $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$.

7. 7

   5. Vérifier que les solutions appartiennent au domaine de validité.

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   6. Conclure.

Étape suivante

La méthode

Quand tu te retrouves face à un exercice sur les logarithmes ou les exponentielles, voici les gestes types que le correcteur attend.

1. Pour les équations/inéquations :

   • Étape 1 : Définir le domaine de validité. C'est crucial pour les $\ln$. Si tu as $\ln(u(x))$, tu dois poser $u(x) > 0$. Pour les exponentielles, le domaine est souvent $\mathbb{R}$.
   • Étape 2 : Simplifier l'expression. Utilise les propriétés algébriques ($\ln(AB)=\ln A + \ln B$, $e^{A+B}=e^A e^B$, etc.) pour regrouper les termes et isoler le $\ln$ ou l'exponentielle.
   • Étape 3 : Appliquer la fonction réciproque. Si tu as $\ln(A) = k$, tu passes à $A = e^k$. Si tu as $e^A = k$, tu passes à $A = \ln(k)$ (attention si $k \le 0$).
   • Étape 4 : Résoudre l'équation/inéquation algébrique. Tu te retrouves souvent avec une équation du premier ou second degré, ou une inéquation simple.
   • Étape 5 : Vérifier les solutions. Compare tes solutions avec le domaine de validité défini à l'étape 1. Seules les solutions appartenant à ce domaine sont valides.

2. Pour l'étude de fonctions :

   • Étape 1 : Domaine de définition. C'est le premier point de toute étude de fonction.
   • Étape 2 : Limites aux bornes. Utilise les limites de référence et les croissances comparées. N'oublie pas les formes indéterminées.
   • Étape 3 : Calcul de la dérivée. Applique les formules $(\ln(u))' = u'/u$ et $(e^u)' = u'e^u$.
   • Étape 4 : Signe de la dérivée. Résous $f'(x) > 0$ ou $f'(x) = 0$ pour trouver les intervalles de croissance/décroissance et les extrema.
   • Étape 5 : Tableau de variations. Synthétise toutes les informations (limites, variations, extrema).

Pièges classiques

Fais attention à ces erreurs qui coûtent des points bêtement :

• Oublier le domaine de validité pour $\ln$ : C'est l'erreur la plus fréquente. Une solution trouvée algébriquement mais qui rend un argument de $\ln$ négatif ou nul est fausse.

  Vérifie que tu suis

  Résoudre $\ln(x) + \ln(x-2) = \ln(3)$.

  $x=3$$x=3$ et $x=-1$Pas de solution

• Confondre les propriétés algébriques :

  • $\ln(a+b) \ne \ln(a) + \ln(b)$
  • $\ln(a)\ln(b) \ne \ln(ab)$
  • $e^a + e^b \ne e^{a+b}$
  • $e^a e^b \ne e^{ab}$ Ces confusions sont très courantes. Relis bien les propriétés.

• Erreurs de signe avec les inéquations : Quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif dans une inéquation, tu dois changer le sens de l'inégalité. C'est valable aussi quand tu passes à l'inverse.

• Mauvaise application des croissances comparées : Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, mais $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$. Il faut bien les connaître.

• Dériver incorrectement :

  • $(\ln(2x))' = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$, pas $\frac{1}{2x}$.
  • $(e^{3x})' = 3e^{3x}$, pas $e^{3x}$.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre des logarithmes et exponentielles est un pilier de l'analyse et représente une part significative de l'examen (environ 22% du total de l'analyse, soit 13-14% de la note finale). Les questions sont souvent intégrées dans l'étude de fonctions.

Voici les formats de questions les plus fréquents, avec une idée du barème :

• Résolution d'équations/inéquations (2-3 points) :

  • $\ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln(4)$ (comme l'exemple résolu)
  • $e^{2x} - 3e^{x} + 2 \leq 0$ (souvent en posant $X = e^x$)
  • $\ln(x^2-1) \ge \ln(2x)$ Le barème valorise la détermination du domaine de validité, l'application correcte des propriétés et la vérification des solutions.

• Calcul de limites (1-2 points par limite) :

  • $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x))$
  • $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$
  • $\lim_{x \to -\infty} (x+1)e^x$ Il faut identifier les formes indéterminées et utiliser les croissances comparées.

• Calcul de dérivées (1-2 points) :

  • $f(x) = x - \ln(x)$
  • $f(x) = (x^2+1)e^{-x}$
  • $f(x) = \ln(x^2+3)$ L'application des formules de dérivation est directe.

• Étude de fonctions (5-8 points, partie principale de l'exercice d'analyse) :

  • Donner le domaine de définition.
  • Calculer les limites aux bornes.
  • Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
  • Dresser le tableau de variations.
  • Déterminer les branches infinies (asymptotes).
  • Montrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une solution unique (Théorème des Valeurs Intermédiaires).
  • Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité/points d'inflexion. C'est là que tu dois mobiliser toutes tes connaissances du chapitre et les appliquer de manière structurée.