Intérêts simples

L'intuition

Imagine que tu prêtes 100 DH à un ami. Si tu lui demandes de te rendre 100 DH le lendemain, c'est un simple échange. Mais si tu lui prêtes ces 100 DH pour un an, tu ne peux pas utiliser cet argent pendant toute cette période. Il est donc juste qu'il te donne un petit "plus" en compensation pour le service rendu et le manque à gagner que tu as subi. Ce "plus", c'est l'intérêt.

En finance, c'est exactement le même principe. Quand tu places de l'argent à la banque (tu prêtes à la banque) ou que tu investis dans une entreprise, tu leur permets d'utiliser ton capital pendant une certaine durée. En échange de cette mise à disposition, ils te versent une rémunération : l'intérêt. Cet intérêt dépend de trois facteurs principaux : le montant que tu as placé (le capital), le pourcentage de rémunération (le taux), et la durée pendant laquelle ton argent est bloqué.

Les intérêts simples sont la forme la plus basique de rémunération. Ils sont calculés uniquement sur le capital initial que tu as placé, sans que les intérêts déjà produits ne s'ajoutent au capital pour générer de nouveaux intérêts. C'est le point de départ pour comprendre toutes les notions d'intérêts en finance.

Le cours

Le calcul des intérêts simples est une notion fondamentale en mathématiques financières. Il est principalement utilisé pour les placements de courte durée, généralement inférieurs à un an.

1. Définition de l'intérêt simple

L'intérêt simple est la rémunération d'un capital qui est soit placé (par exemple, à la banque), soit emprunté (par exemple, un crédit). Il est calculé uniquement sur le montant initial du capital, pour une période donnée.

2. Les éléments du calcul

Pour calculer l'intérêt simple, tu dois identifier quatre éléments clés :

• $C$ : Le Capital (ou Capital initial) C'est la somme d'argent de départ, exprimée en Dirhams (DH), que tu places ou que tu empruntes.

• $t$ : Le Taux d'intérêt annuel C'est le pourcentage de rémunération du capital pour une année complète. Il est toujours exprimé en pourcentage (par exemple, 6%). Dans les formules que nous allons utiliser, tu l'inséreras tel quel (par exemple, 6 et non 0,06), car la formule intègre déjà une division par 100.

• $n$ : La Durée du placement C'est la période pendant laquelle le capital est mis en jeu. Elle peut être exprimée en années, en mois ou en jours.

• $base$ : La Base de calcul C'est le nombre d'unités de temps (jours ou mois) qui constituent une année pour le calcul.

3. La formule de l'intérêt simple

La formule officielle pour calculer l'intérêt simple ($I$) est la suivante :

$I = \frac{C \times t \times n}{100 \times base}$

Où :

• $I$ = Montant de l'intérêt simple (en DH)
• $C$ = Capital placé (en DH)
• $t$ = Taux d'intérêt annuel (en %)
• $n$ = Durée du placement (en jours ou en mois)
• $base$ = Nombre de jours ou de mois dans l'année, selon l'unité de $n$.

Convention commerciale : Pour tes études et les examens, la convention commerciale est la norme. Elle établit que :

• L'année est considérée comme ayant 360 jours.
• Les mois sont considérés comme ayant 30 jours.

Il est absolument essentiel que la durée ($n$) et la base soient exprimées dans la même unité de temps.

• Si $n$ est exprimé en jours : La base sera 360. $I = \frac{C \times t \times n}{100 \times 360}$

• Si $n$ est exprimé en mois : La base sera 12. $I = \frac{C \times t \times n}{100 \times 12}$

• Si $n$ est exprimé en années : La base sera 1. Dans ce cas, la formule se simplifie : $I = \frac{C \times t \times n}{100}$

Démonstration de la formule : L'intérêt annuel pour un capital $C$ au taux $t$ est $C \times \frac{t}{100}$. Si la durée $n$ est exprimée en années, l'intérêt total est simplement l'intérêt annuel multiplié par le nombre d'années : $C \times \frac{t}{100} \times n$. Si la durée $n$ est exprimée en jours, et que l'année est conventionnellement de $base$ jours, alors la durée $n$ en jours correspond à $\frac{n}{base}$ années. En remplaçant $n$ (en années) par $\frac{n}{base}$ (où $n$ est en jours), on obtient : $I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n}{base} = \frac{C \times t \times n}{100 \times base}$. Le même raisonnement s'applique si $n$ est en mois, en utilisant une base de 12 mois.

4. La Valeur Acquise (ou Valeur Définitive)

La valeur acquise ($V$), également appelée valeur définitive ou capital final, représente le montant total que tu récupères à la fin du placement. C'est la somme du capital initial et des intérêts produits.

$V = C + I$

En remplaçant $I$ par sa formule complète, tu peux exprimer la valeur acquise directement :

$V = C + \frac{C \times t \times n}{100 \times base}$

Pour simplifier, tu peux factoriser par $C$ :

$V = C \times \left(1 + \frac{t \times n}{100 \times base}\right)$

5. Le Taux Moyen de plusieurs placements

Il arrive que tu aies à gérer plusieurs placements simultanément, chacun avec son propre capital, taux et durée. Le taux moyen ($t_{moyen}$) est le taux unique qui, appliqué à la somme des capitaux pendant la somme des durées, générerait le même montant total d'intérêts que l'ensemble des placements individuels.

La formule du taux moyen est la suivante :

$t_{moyen} = \frac{\sum (C_i \times t_i \times n_i)}{\sum (C_i \times n_i)}$

Où :

• $\sum$ (Sigma) signifie "somme de".
• $C_i$ = Capital du placement $i$.
• $t_i$ = Taux du placement $i$.
• $n_i$ = Durée du placement $i$.

Attention : Pour appliquer cette formule correctement, il est impératif que toutes les durées $n_i$ soient exprimées dans la même unité (par exemple, toutes en jours, toutes en mois, ou toutes en années). La base de calcul (12 ou 360) n'apparaît pas explicitement dans cette formule car elle se simplifie mathématiquement si elle est appliquée de manière cohérente au numérateur et au dénominateur.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale pour appliquer ce que nous venons de voir :

Question : Un capital de $50 000$ DH est placé à intérêts simples au taux annuel de $6\%$ pendant $90$ jours. Calculer l'intérêt produit et la valeur acquise (année de $360$ jours).

Résolution pas à pas :

1. Identifier les données du problème :

   • Capital ($C$) = $50 000$ DH
   • Taux annuel ($t$) = $6\%$
   • Durée ($n$) = $90$ jours
   • Base = $360$ jours (car la durée est en jours et la convention commerciale est spécifiée)

2. Calculer l'intérêt simple ($I$) : On utilise la formule de l'intérêt simple pour une durée en jours : $I = \frac{C \times t \times n}{100 \times 360}$ $I = \frac{50 000 \times 6 \times 90}{100 \times 360}$ $I = \frac{27 000 000}{36 000}$ $I = 750$ DH

3. Calculer la valeur acquise ($V$) : La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts produits : $V = C + I$ $V = 50 000 + 750$ $V = 50 750$ DH

Réponse : L'intérêt produit est de $750$ DH et la valeur acquise est de $50 750$ DH.

La méthode

Pour réussir les exercices sur les intérêts simples, suis ces étapes de manière systématique. Le correcteur attend une démarche claire et rigoureuse.

1. Lecture attentive de l'énoncé : Lis la question plusieurs fois pour bien comprendre ce qui est demandé et identifier toutes les informations fournies.
2. Identification des données :
   • Note clairement les valeurs de $C$, $t$, $n$.
   • Vérifie l'unité de la durée $n$ (jours, mois, années).
   • Détermine la $base$ de calcul (360 pour les jours, 12 pour les mois, 1 pour les années) en te basant sur la convention commerciale ou les indications de l'énoncé.
   • Assure-toi que $n$ et $base$ sont dans la même unité. Si ce n'est pas le cas, convertis $n$ pour qu'il corresponde à la $base$ (par exemple, si $n$ est en mois et la $base$ est en jours, convertis les mois en jours en multipliant par 30).
3. Choix de la formule appropriée :
   • Si on te demande l'intérêt : $I = \frac{C \times t \times n}{100 \times base}$
   • Si on te demande la valeur acquise : $V = C + I$ ou $V = C \times \left(1 + \frac{t \times n}{100 \times base}\right)$
   • Si on te demande le taux moyen : $t_{moyen} = \frac{\sum (C_i \times t_i \times n_i)}{\sum (C_i \times n_i)}$
4. Application numérique : Remplace les variables par leurs valeurs dans la formule choisie.
5. Calcul : Effectue les calculs avec précision. Utilise ta calculatrice si nécessaire.
6. Présentation du résultat :
   • Encadre tes résultats finaux.
   • N'oublie pas l'unité monétaire (DH) pour l'intérêt et la valeur acquise.
   • Pour le taux, exprime-le en pourcentage (%).
7. Vérification : Relis l'énoncé et tes calculs pour t'assurer que tu as répondu à toutes les questions et que tes résultats sont cohérents.

Pièges classiques

Fais attention à ces erreurs fréquentes qui peuvent te coûter des points précieux :

• Oubli de la base ou mauvaise base : C'est l'erreur la plus courante. Si $n$ est en jours, la base est 360. Si $n$ est en mois, la base est 12. Ne confonds pas et ne l'oublie pas.
  • Contre-exemple : Tu as $n=90$ jours et tu utilises $I = \frac{C \times t \times 90}{100 \times 12}$. C'est faux, la base doit être 360.
• Conversion du taux : Le taux $t$ est donné en pourcentage (ex: 6%). La formule $I = \frac{C \times t \times n}{100 \times base}$ inclut déjà la division par 100. Ne le convertis pas en décimal (0,06) avant de l'insérer dans la formule, sinon tu diviseras par 100 deux fois !
  • Contre-exemple : Si $t=6\%$, tu écris $I = \frac{C \times 0,06 \times n}{100 \times base}$. C'est faux. Il faut écrire $I = \frac{C \times 6 \times n}{100 \times base}$.
• Incohérence des unités de durée : Si la durée est donnée en mois et que tu dois utiliser une base de 360 jours, tu dois d'abord convertir les mois en jours (nombre de mois $\times$ 30).
  • Contre-exemple : Un placement de 3 mois. Tu utilises $n=3$ et $base=360$. C'est faux. Il faut convertir 3 mois en jours : $3 \times 30 = 90$ jours, puis utiliser $n=90$ et $base=360$.
• Calcul du taux moyen : Assure-toi que tous les $n_i$ sont dans la même unité avant d'appliquer la formule. Si certains sont en jours et d'autres en mois, convertis-les tous dans la même unité (par exemple, tous en jours).
• Confusion entre intérêt et valeur acquise : L'intérêt est la rémunération, la valeur acquise est le capital initial plus cette rémunération. Lis bien la question pour savoir ce qui est demandé.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur les intérêts simples est fondamental et apparaît souvent dans les premières parties des examens, généralement sous forme de questions directes d'application. Il est crucial de maîtriser ce chapitre car il sert de base à d'autres notions plus complexes.

Format des questions réelles :

Les questions sont généralement des exercices d'application directe des formules, comme ceux des annales que tu as vues :

• Calcul de l'intérêt et de la valeur acquise : On te donne $C$, $t$, et $n$ (en jours ou mois) et on te demande de calculer $I$ et $V$. C'est le type de question le plus fréquent.
  • Exemple : "Un capital de 12 000 DH est placé à intérêt simple au taux annuel de 5% pendant 9 mois. Calculer l’intérêt simple."
• Calcul d'un élément manquant : Parfois, on te donne $I$ ou $V$ et on te demande de retrouver $C$, $t$, ou $n$. Cela implique de manipuler les formules.
  • Exemple : "Quel taux annuel a permis à un capital de 20 000 DH de produire 400 DH d'intérêts en 60 jours ?" (Tu devrais isoler $t$ de la formule de $I$).
• Calcul du taux moyen : Si plusieurs placements sont décrits, on te demandera de calculer le taux moyen de l'ensemble.
  • Exemple : "M. X a effectué les placements suivants : 10 000 DH à 4% pendant 3 mois, et 15 000 DH à 5% pendant 90 jours. Calculer le taux moyen de ces placements."

Barème et attentes du correcteur :

Le barème pour ces questions est généralement détaillé et valorise chaque étape de ta démarche :

• Identification correcte des données : Quelques points pour avoir listé $C$, $t$, $n$ et la $base$.
• Formule utilisée : Des points sont attribués pour avoir écrit la formule correcte avant l'application numérique. C'est une "écriture normalisée" en mathématiques financières.
• Application numérique : Des points pour avoir remplacé correctement les variables par leurs valeurs.
• Résultat juste : Le gros des points pour le résultat final correct, avec l'unité appropriée.
• Interprétation : Bien que moins fréquente pour les intérêts simples, une phrase de conclusion peut être attendue pour les questions plus complexes.

La justesse des calculs est primordiale. Une erreur de calcul même minime peut entraîner la perte de points pour le résultat final, même si la méthode est bonne. Entraîne-toi à la calculatrice pour éviter les fautes d'inattention.