Intérêts composés et annuités

L'intuition

Imagine que tu as 1000 DH et que tu les places à la banque. Si la banque te donne 10% d'intérêt par an, à la fin de la première année, tu auras 1000 DH + 100 DH (10% de 1000 DH), soit 1100 DH.

Maintenant, si ces intérêts sont "composés", ça veut dire que l'année suivante, la banque ne va pas te donner 10% sur tes 1000 DH de départ, mais sur tes 1100 DH. Donc, la deuxième année, tu gagneras 10% de 1100 DH, soit 110 DH. Ton capital deviendra 1100 DH + 110 DH = 1210 DH. Tu vois, tu as gagné plus la deuxième année (110 DH) que la première (100 DH) parce que tes intérêts ont eux-mêmes produit des intérêts. C'est ça, les intérêts composés : l'argent travaille pour toi, et les gains d'aujourd'hui deviennent le capital de demain. C'est comme une boule de neige qui grossit en roulant.

Pour les annuités, c'est un peu différent. Imagine que tu veux acheter une voiture et que tu dois payer 2000 DH chaque mois pendant 3 ans. Chaque paiement de 2000 DH est une annuité (même si c'est mensuel, le principe est le même). On va chercher soit combien ça te coûterait si tu payais tout d'un coup aujourd'hui (valeur actuelle), soit combien tu aurais accumulé si tu avais épargné 2000 DH chaque mois (valeur acquise). C'est le même principe que le crédit à la consommation ou l'épargne régulière que beaucoup de Marocains utilisent.

Le cours

Ce chapitre est fondamental en mathématiques financières. Il te permet de comprendre comment la valeur de l'argent évolue dans le temps, que ce soit pour un placement, un emprunt ou une épargne.

I. Les intérêts composés

Les intérêts composés sont calculés sur le capital initial augmenté des intérêts déjà acquis. C'est le mode de calcul le plus courant pour les placements à moyen et long terme.

A. Valeur acquise ($C_n$)

La valeur acquise ($C_n$) est le capital obtenu après $n$ périodes de placement d'un capital initial ($C_0$) à un taux d'intérêt ($i$) par période.

Formule :

$C_n = C_0 \times (1 + i)^n$

Où :

• $C_n$ : Capital acquis à la fin de la $n$-ième période.
• $C_0$ : Capital initial placé.
• $i$ : Taux d'intérêt par période (exprimé en décimal, par exemple 5% = 0,05).
• $n$ : Nombre de périodes de placement.

Démonstration (pour comprendre d'où vient la formule) :

• À la fin de la 1ère période : $C_1 = C_0 + C_0 \times i = C_0 (1 + i)$
• À la fin de la 2ème période : $C_2 = C_1 + C_1 \times i = C_1 (1 + i) = C_0 (1 + i) (1 + i) = C_0 (1 + i)^2$
• À la fin de la 3ème période : $C_3 = C_2 + C_2 \times i = C_2 (1 + i) = C_0 (1 + i)^2 (1 + i) = C_0 (1 + i)^3$
• Par récurrence, à la fin de la $n$-ième période : $C_n = C_0 (1 + i)^n$

L'intérêt total produit ($I_T$) : L'intérêt total est la différence entre la valeur acquise et le capital initial.

$I_T = C_n - C_0$

B. Valeur actuelle ($C_0$)

La valeur actuelle ($C_0$) est le capital qu'il faut placer aujourd'hui pour obtenir une somme future ($C_n$) après $n$ périodes, à un taux d'intérêt ($i$) par période. C'est l'opération inverse de la capitalisation.

Formule : En partant de la formule de la valeur acquise $C_n = C_0 (1 + i)^n$, on peut isoler $C_0$:

$C_0 = \frac{C_n}{(1 + i)^n} = C_n \times (1 + i)^{-n}$

Où :

• $C_0$ : Capital initial (valeur actuelle).
• $C_n$ : Capital futur.
• $i$ : Taux d'intérêt par période (en décimal).
• $n$ : Nombre de périodes.

II. Les annuités constantes

Une annuité est une suite de versements ou de paiements égaux effectués à intervalles de temps réguliers. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur les annuités constantes de fin de période, ce qui signifie que le versement a lieu à la fin de chaque période.

A. Valeur acquise d'une suite d'annuités ($V_n$) - Capitalisation

La valeur acquise ($V_n$) est la somme totale que l'on obtient en capitalisant une série d'annuités constantes ($a$) versées à la fin de chaque période, pendant $n$ périodes, à un taux d'intérêt ($i$) par période. On utilise cette formule pour la constitution d'un capital (épargne).

Formule :

$V_n = a \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$

Où :

• $V_n$ : Valeur acquise de la suite d'annuités.
• $a$ : Montant de l'annuité constante.
• $i$ : Taux d'intérêt par période (en décimal).
• $n$ : Nombre de périodes.

Démonstration (pour comprendre d'où vient la formule) : Chaque annuité est capitalisée jusqu'à la fin de la $n$-ième période.

• La 1ère annuité (versée à la fin de la 1ère période) est capitalisée pendant $n-1$ périodes : $a(1+i)^{n-1}$
• La 2ème annuité (versée à la fin de la 2ème période) est capitalisée pendant $n-2$ périodes : $a(1+i)^{n-2}$
• ...
• L'avant-dernière annuité (versée à la fin de la $(n-1)$-ième période) est capitalisée pendant 1 période : $a(1+i)^1$
• La dernière annuité (versée à la fin de la $n$-ième période) n'est pas capitalisée : $a(1+i)^0 = a$

La valeur acquise $V_n$ est la somme de toutes ces valeurs capitalisées : $V_n = a(1+i)^{n-1} + a(1+i)^{n-2} + \dots + a(1+i)^1 + a$ $V_n = a [1 + (1+i) + (1+i)^2 + \dots + (1+i)^{n-1}]$

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $(1+i)$, de premier terme 1 et de $n$ termes. La somme d'une suite géométrique est donnée par la formule $\frac{\text{premier terme} \times (\text{raison}^{\text{nombre de termes}} - 1)}{\text{raison} - 1}$. Donc, $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1} = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

B. Valeur actuelle d'une suite d'annuités ($V_0$) - Actualisation

La valeur actuelle ($V_0$) est la somme qu'il faudrait placer aujourd'hui pour pouvoir effectuer une série d'annuités constantes ($a$) à la fin de chaque période, pendant $n$ périodes, à un taux d'intérêt ($i$) par période. On utilise cette formule pour le remboursement d'emprunts ou l'achat à crédit (déterminer le prix au comptant équivalent).

Formule :

$V_0 = a \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

Où :

• $V_0$ : Valeur actuelle de la suite d'annuités.
• $a$ : Montant de l'annuité constante.
• $i$ : Taux d'intérêt par période (en décimal).
• $n$ : Nombre de périodes.

Démonstration (pour comprendre d'où vient la formule) : Chaque annuité est actualisée à la date 0.

• La 1ère annuité (versée à la fin de la 1ère période) est actualisée sur 1 période : $a(1+i)^{-1}$
• La 2ème annuité (versée à la fin de la 2ème période) est actualisée sur 2 périodes : $a(1+i)^{-2}$
• ...
• La $n$-ième annuité (versée à la fin de la $n$-ième période) est actualisée sur $n$ périodes : $a(1+i)^{-n}$

La valeur actuelle $V_0$ est la somme de toutes ces valeurs actualisées : $V_0 = a(1+i)^{-1} + a(1+i)^{-2} + \dots + a(1+i)^{-n}$ $V_0 = a [(1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + \dots + (1+i)^{-n}]$

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $(1+i)^{-1}$, de premier terme $(1+i)^{-1}$ et de $n$ termes. $V_0 = a \times \frac{(1+i)^{-1} \times (1 - ((1+i)^{-1})^n)}{1 - (1+i)^{-1}}$ $V_0 = a \times \frac{(1+i)^{-1} \times (1 - (1+i)^{-n})}{1 - \frac{1}{1+i}}$ $V_0 = a \times \frac{\frac{1}{1+i} \times (1 - (1+i)^{-n})}{\frac{1+i-1}{1+i}}$ $V_0 = a \times \frac{\frac{1}{1+i} \times (1 - (1+i)^{-n})}{\frac{i}{1+i}}$ $V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$

III. Distinction cruciale : Capitalisation vs. Actualisation

Il est essentiel de bien comprendre la différence entre ces deux concepts, car ils sont souvent source de confusion.

• Capitalisation : On cherche une valeur future. On part d'un capital présent ou d'une série de versements pour savoir combien on aura dans le futur.

  • Exemple : Placer 100 000 DH aujourd'hui (capitalisation simple) ou épargner 500 DH par mois (capitalisation d'annuités) pour savoir combien on aura dans 5 ans.
  • Formules utilisées : $C_n = C_0 (1 + i)^n$ ou $V_n = a \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$.

• Actualisation : On cherche une valeur présente. On part d'une somme future ou d'une série de paiements futurs pour déterminer leur valeur équivalente aujourd'hui.

  • Exemple : Combien faut-il placer aujourd'hui pour avoir 200 000 DH dans 5 ans (actualisation simple) ou quel est le prix au comptant d'un bien payable par 5 annuités (actualisation d'annuités).
  • Formules utilisées : $C_0 = C_n (1 + i)^{-n}$ ou $V_0 = a \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale réel pour voir comment appliquer ces formules.

Question d'annale : Une entreprise achète un matériel remboursable par 5 annuités constantes de fin d'année de 25 000 DH, au taux de 7% l'an. Calculer la valeur actuelle (prix au comptant équivalent) de ce matériel. (On donne $1,07^{-5} = 0,712986$.)

Résolution pas à pas :

1. Identifier ce qui est demandé : La question demande la "valeur actuelle (prix au comptant équivalent)". Cela indique qu'il faut utiliser une formule d'actualisation.

2. Identifier les données du problème :

   • "5 annuités constantes de fin d'année" : $n = 5$ périodes.
   • "de 25 000 DH" : $a = 25 000$ DH (montant de l'annuité).
   • "au taux de 7% l'an" : $i = 0,07$ (taux par période, en décimal).
   • "On donne $1,07^{-5} = 0,712986$" : C'est une valeur pré-calculée pour faciliter le calcul.

3. Choisir la bonne formule : Puisqu'il s'agit d'une suite d'annuités et qu'on cherche une valeur actuelle, la formule à utiliser est celle de la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes : $V_0 = a \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

4. Substituer les valeurs dans la formule : $V_0 = 25 000 \times \frac{1 - (1 + 0,07)^{-5}}{0,07}$

   $V_0 = 25 000 \times \frac{1 - (1,07)^{-5}}{0,07}$

5. Utiliser la valeur donnée : On sait que $(1,07)^{-5} = 0,712986$. $V_0 = 25 000 \times \frac{1 - 0,712986}{0,07}$

6. Effectuer les calculs : $V_0 = 25 000 \times \frac{0,287014}{0,07}$

   $V_0 = 25 000 \times 4,1002$

   $V_0 = 102 505$

7. Conclure et interpréter : La valeur actuelle (prix au comptant équivalent) de ce matériel est de 102 505 DH. Cela signifie que si l'entreprise payait ce matériel aujourd'hui en une seule fois, elle débourserait 102 505 DH, ce qui est équivalent à payer 5 annuités de 25 000 DH avec un taux de 7%.

La méthode

Pour réussir les exercices sur les intérêts composés et les annuités, suis cette méthode rigoureuse :

1. Lecture attentive de l'énoncé :

   • Souligne les mots clés : "intérêts composés", "annuités", "fin de période", "valeur acquise", "valeur actuelle", "capital initial", "capital futur", "remboursement", "constitution d'un capital".
   • Identifie clairement ce qui est demandé (le résultat final).

2. Identification des données :

   • Note toutes les variables connues :
     • $C_0$ (capital initial) ou $C_n$ (capital futur)
     • $a$ (montant de l'annuité)
     • $i$ (taux d'intérêt par période, toujours en décimal)
     • $n$ (nombre de périodes)
   • Vérifie la cohérence des périodes : si le taux est annuel, les périodes doivent être en années. Si le taux est mensuel, les périodes doivent être en mois. Si ce n'est pas le cas, tu devras convertir le taux ou les périodes.

3. Choix de la formule appropriée :

   • Intérêts composés simples (un seul capital) :
     • Si tu cherches une valeur future ($C_n$) : $C_n = C_0 \times (1 + i)^n$ (capitalisation).
     • Si tu cherches une valeur présente ($C_0$) : $C_0 = C_n \times (1 + i)^{-n}$ (actualisation).
   • Annuités constantes (série de versements) :
     • Si tu cherches une valeur future ($V_n$) : $V_n = a \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$ (capitalisation d'annuités).
     • Si tu cherches une valeur présente ($V_0$) : $V_0 = a \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$ (actualisation d'annuités).

4. Application numérique :

   • Remplace les variables par leurs valeurs numériques dans la formule choisie.
   • Utilise les valeurs pré-calculées données dans l'énoncé (par exemple, $(1+i)^n$ ou $(1+i)^{-n}$). Ne les recalcule pas, tu risquerais des erreurs d'arrondi.
   • Effectue les calculs étape par étape pour minimiser les erreurs.

5. Présentation du résultat :

   • Écris clairement le résultat final avec l'unité monétaire (DH).
   • Si l'énoncé le demande, interprète le résultat dans le contexte du problème.

Pièges classiques

Fais attention à ces erreurs fréquentes qui coûtent des points :

1. Confusion entre taux annuel et taux périodique :

   • Si un taux annuel est donné et que les annuités sont mensuelles, tu dois convertir le taux annuel en taux mensuel équivalent.
   • Exemple : Taux annuel de 12%. Si les périodes sont mensuelles, le taux mensuel n'est PAS 12%/12 = 1%. C'est une erreur. Il faut utiliser la formule du taux équivalent : $(1 + i_{annuel}) = (1 + i_{mensuel})^{12}$. Donc $i_{mensuel} = (1 + i_{annuel})^{1/12} - 1$.
   • Contre-exemple : Un taux annuel de 12% ne donne pas un taux mensuel de 1%. Si tu places 100 DH à 12% annuel, tu as 112 DH à la fin de l'année. Si tu appliques 1% par mois, tu auras $100 \times (1+0,01)^{12} = 100 \times 1,1268 = 112,68$ DH. Ce n'est pas la même chose. Heureusement, dans les exercices de Bac, on te donnera souvent le taux périodique directement ou les périodes correspondront au taux donné. Mais sois vigilant.

2. Erreur dans le choix de la formule (capitalisation vs. actualisation, capital unique vs. annuités) :

   • Relis toujours la question pour savoir si tu cherches une valeur future ou présente, et s'il s'agit d'un montant unique ou d'une série de paiements.
   • Contre-exemple : Si la question est "Quelle somme faut-il placer aujourd'hui pour avoir 200 000 DH dans 5 ans ?", et que tu utilises $C_n = C_0 (1+i)^n$ au lieu de $C_0 = C_n (1+i)^{-n}$, tu calculeras la valeur future de 200 000 DH, ce qui est l'inverse de ce qui est demandé.

3. Oubli de convertir le taux en décimal :

   • Un taux de 5% doit être utilisé comme $0,05$ dans les formules, pas $5$.
   • Contre-exemple : $1000 \times (1+5)^2$ donnera un résultat absurde, alors que $1000 \times (1+0,05)^2$ est correct.

4. Erreurs d'arrondi intermédiaires :

   • Utilise les valeurs données dans l'énoncé (comme $1,05^4 = 1,21551$) sans les recalculer. Si tu dois faire des calculs intermédiaires, garde le maximum de décimales possible sur ta calculatrice et n'arrondis qu'au résultat final.

5. Confusion entre annuités de début et de fin de période :

   • Le programme se concentre sur les annuités de fin de période. Si un exercice mentionne des annuités de début de période, il faut adapter la formule (multiplier par $(1+i)$). Cependant, ce n'est généralement pas le cas à l'examen. Reste concentré sur les annuités de fin de période comme enseigné.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre "Intérêts composés et annuités" est un classique de l'examen national de comptabilité et mathématiques financières pour la filière SGC. Son poids est d'environ 0,2, ce qui signifie qu'il représente une part non négligeable des points. Il est généralement enseigné vers le mois d'avril, ce qui te laisse le temps de bien le maîtriser avant l'examen.

Les questions sont très directes et visent à évaluer ta capacité à :

• Comprendre les concepts d'intérêts composés, de capitalisation et d'actualisation.
• Appliquer les formules correctement.
• Analyser une situation pour choisir la bonne formule et identifier les données pertinentes.
• Synthétiser les informations pour arriver à un résultat juste et l'interpréter.

Format des questions réelles (extraits d'annales) :

Tu trouveras des questions similaires à celles-ci :

• Intérêts composés - Valeur acquise :

  • "Un capital de 100 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 5% pendant 4 ans. Calculer la valeur acquise et l'intérêt total produit. (On donne $1,05^{4} = 1,21551$.)"
  • Attendus : Application de $C_n = C_0 \times (1 + i)^n$ puis $I_T = C_n - C_0$. Justesse des calculs.

• Intérêts composés - Valeur actuelle :

  • "Quelle somme faut-il placer aujourd'hui à intérêts composés au taux de 6% l'an pour disposer de 200 000 DH dans 5 ans ? (On donne $1{,}06^{-5} = 0{,}747258$.)"
  • Attendus : Application de $C_0 = C_n \times (1 + i)^{-n}$. Justesse des calculs.

• Annuités constantes - Valeur actuelle :

  • "Une entreprise achète un matériel remboursable par 5 annuités constantes de fin d'année de 25 000 DH, au taux de 7% l'an. Calculer la valeur actuelle (prix au comptant équivalent) de ce matériel. (On donne $1,07^{-5} = 0,712986$.)"
  • Attendus : Application de $V_0 = a \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$. Justesse des calculs et interprétation du résultat comme "prix au comptant équivalent".

• Annuités constantes - Valeur acquise : (Moins fréquent que la valeur actuelle pour les annuités, mais possible)

  • "Une personne verse 1 500 DH à la fin de chaque année pendant 10 ans sur un compte rémunéré à 4% l'an. Quel capital aura-t-elle accumulé au bout de 10 ans ? (On donne $\frac{(1,04)^{10}-1}{0,04} = 12,0061$.)"
  • Attendus : Application de $V_n = a \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$. Justesse des calculs.

Barème et consignes de correction :

• Justesse des calculs : C'est primordial. Une erreur de calcul, même minime, peut entraîner la perte de points pour la question.
• Formules : Il est souvent attendu que tu écrives la formule utilisée avant de faire l'application numérique.
• Interprétation : Pour certaines questions, surtout celles qui demandent une "valeur actuelle" ou "valeur acquise" dans un contexte précis (prix d'un matériel, capital accumulé), une phrase de conclusion interprétant le résultat est attendue.
• Présentation : Une écriture claire et organisée des étapes de calcul est appréciée et peut influencer la note de présentation (+0,5 point).

Ce chapitre est très mécanique. Une fois que tu as compris les concepts et que tu sais choisir la bonne formule, c'est une question d'application rigoureuse. Entraîne-toi avec les annales pour bien maîtriser les différents cas de figure.