Intérêts simples

L'intuition

Imagine que tu prêtes 1000 DH à un ami pour un an. Si cet ami te rembourse 1050 DH à la fin de l'année, les 50 DH supplémentaires représentent l'intérêt. C'est la rémunération du capital que tu as prêté. En finance, c'est pareil : l'intérêt est le loyer de l'argent. Quand tu places de l'argent à la banque, elle te paie un intérêt. Quand tu empruntes, tu paies un intérêt. L'intérêt simple, c'est le calcul le plus basique : l'intérêt est toujours calculé sur le capital initial, sans prendre en compte les intérêts déjà générés. C'est comme si ton ami te rendait toujours 50 DH, peu importe combien de temps tu lui as prêté l'argent, tant que c'est sur la base du capital de départ.

Le cours

Définitions et concepts clés

• Capital (C) : C'est la somme d'argent initiale placée ou empruntée. C'est le montant de départ.
• Taux d'intérêt (t) : C'est le pourcentage annuel qui détermine la rémunération du capital. Il est toujours exprimé en pourcentage annuel.
• Durée (n) : C'est la période pendant laquelle le capital est placé ou emprunté. Elle peut être exprimée en années, mois ou jours.
• Intérêt (I) : C'est la rémunération du capital. Dans le cas de l'intérêt simple, il est calculé uniquement sur le capital initial.
• Valeur acquise (Va) : C'est la somme du capital initial et des intérêts produits à la fin de la période. C'est le montant total que tu récupères ou que tu dois rembourser.

Formules fondamentales

1. Calcul de l'intérêt simple (I) : L'intérêt simple est proportionnel au capital, au taux et à la durée.

   $I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}$

   Où :

   • $C$ = Capital (en DH)
   • $t$ = Taux annuel (en %)
   • $n$ = Durée (en années, mois ou jours)
   • $\text{base}$ = Unité de temps correspondant à la durée $n$.

   Convention commerciale marocaine :

   • Si $n$ est exprimé en jours, la base est de 360 jours (année commerciale).
   • Si $n$ est exprimé en mois, la base est de 12 mois.
   • Si $n$ est exprimé en années, la base est de 1.

   Exemple de conversion de durée : Si la durée est de 18 mois et que tu utilises la base 360 jours, tu dois convertir 18 mois en jours : $18 \times 30 = 540$ jours. Donc $n = 540$ et $\text{base} = 360$. Ou tu peux laisser $n=18$ et utiliser la base $12$. L'important est que $n$ et $\text{base}$ soient dans la même unité de temps.

2. Calcul de la valeur acquise (Va) : La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts générés.

   $Va = C + I$

   En remplaçant $I$ par sa formule, on obtient :

   $Va = C + C \times \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}$

   On peut factoriser $C$ :

   $Va = C \times \left(1 + \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}\right)$

Taux moyen de plusieurs placements

Parfois, une entreprise réalise plusieurs placements avec des capitaux, des taux et des durées différents. Pour trouver le taux moyen de ces placements, on utilise la formule suivante :

$t_{\text{moyen}} = \frac{\sum (C_i \times t_i \times n_i)}{\sum (C_i \times n_i)}$

Où :

• $C_i$ = Capital du placement $i$
• $t_i$ = Taux du placement $i$
• $n_i$ = Durée du placement $i$

Attention : Pour cette formule, il faut s'assurer que toutes les durées $n_i$ sont exprimées dans la même unité (par exemple, toutes en mois ou toutes en jours, en adaptant la base si nécessaire pour le calcul des intérêts individuels avant de sommer). Cependant, pour le calcul du taux moyen lui-même, il suffit que les $n_i$ soient cohérents entre eux (par exemple, tous en mois).

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale : "Une entreprise emprunte la somme de 100 000 DH au taux d'intérêt simple de 6% l'an pendant 18 mois. Questions : a. Calculer le montant des intérêts simples. b. Déterminer la valeur acquise (montant à rembourser)."

Étape 1 : Identifier les données

• Capital (C) = 100 000 DH
• Taux annuel (t) = 6%
• Durée (n) = 18 mois

Étape 2 : S'assurer de la cohérence des unités de temps La durée est en mois (18 mois). La convention commerciale pour les mois est une base de 12. Donc, $n = 18$ et $\text{base} = 12$.

Étape 3 : Calculer le montant des intérêts simples (I)

$I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}$

$I = 100\,000 \times \frac{6}{100} \times \frac{18}{12}$

$I = 100\,000 \times 0.06 \times 1.5$

$I = 9\,000 \text{ DH}$

Le montant des intérêts simples est de 9 000 DH.

Étape 4 : Déterminer la valeur acquise (Va)

$Va = C + I$

$Va = 100\,000 + 9\,000$

$Va = 109\,000 \text{ DH}$

La valeur acquise (montant à rembourser) est de 109 000 DH.

La méthode

Pour résoudre un exercice sur les intérêts simples, suis ces étapes :

1. Lis attentivement l'énoncé : Identifie clairement ce qui est donné (Capital, Taux, Durée) et ce qui est demandé (Intérêt, Valeur acquise, Taux moyen, etc.).
2. Note les données : Écris les valeurs de $C$, $t$, $n$ et la base si elle est spécifiée (par exemple, "année de 360 jours").
3. Vérifie la cohérence des unités de temps : C'est crucial.
   • Si $n$ est en jours, la base doit être 360.
   • Si $n$ est en mois, la base doit être 12.
   • Si $n$ est en années, la base doit être 1.
   • Si les unités ne correspondent pas, convertis $n$ pour qu'il corresponde à la base choisie (par exemple, 18 mois = $18 \times 30 = 540$ jours si tu utilises la base 360).
4. Applique la formule appropriée :
   • Pour l'intérêt : $I = C \times \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}$
   • Pour la valeur acquise : $Va = C + I$ ou $Va = C \times \left(1 + \frac{t}{100} \times \frac{n}{\text{base}}\right)$
   • Pour le taux moyen : $t_{\text{moyen}} = \frac{\sum (C_i \times t_i \times n_i)}{\sum (C_i \times n_i)}$
5. Effectue les calculs : Utilise ta calculatrice avec précision.
6. Présente clairement tes résultats : Indique l'unité monétaire (DH) et encadre tes réponses.

Pièges classiques

• Incohérence des unités de temps : C'est l'erreur la plus fréquente. Si tu as une durée en mois et que tu utilises une base de 360 jours, ton résultat sera faux.
  • Exemple d'erreur : $C=100\,000$, $t=6\%$, $n=18$ mois. Si tu écris $I = 100\,000 \times \frac{6}{100} \times \frac{18}{360}$, c'est faux. Tu as mélangé les mois et les jours.
  • Correction : Soit tu convertis $n$ en jours ($18 \text{ mois} = 18 \times 30 = 540 \text{ jours}$), et tu calcules $I = 100\,000 \times \frac{6}{100} \times \frac{540}{360}$. Soit tu laisses $n$ en mois et tu utilises la base 12 : $I = 100\,000 \times \frac{6}{100} \times \frac{18}{12}$. Les deux donnent le même résultat.
• Oubli du "/100" pour le taux : Le taux est donné en pourcentage (par exemple, 6%), mais dans la formule, il doit être utilisé sous forme décimale (0.06).
  • Exemple d'erreur : $I = C \times t \times \frac{n}{\text{base}}$ (si $t$ est 6 au lieu de 0.06).
  • Correction : Toujours diviser le taux par 100 dans la formule : $\frac{t}{100}$.
• Confondre intérêt simple et intérêt composé : Ce chapitre ne traite que de l'intérêt simple. L'intérêt composé est une autre notion où les intérêts sont capitalisés et produisent eux-mêmes des intérêts. Ne mélange pas les deux.
• Arrondis prématurés : Ne pas arrondir les résultats intermédiaires. Garde le maximum de décimales sur ta calculatrice jusqu'au résultat final.

Ce qui tombe à l'examen

Ce chapitre est généralement évalué par des questions directes et des calculs précis. Il représente une petite partie de l'examen (environ 0.1 de la note totale, soit 2 points sur 20), mais il est fondamental car il sert de base à d'autres notions.

Les questions typiques sont :

• Calcul de l'intérêt simple : On te donne $C$, $t$, $n$ et tu dois calculer $I$.
  • Exemple d'annale : "Un capital de $50\,000$ DH est placé à intérêts simples au taux annuel de $6\%$ pendant $90$ jours. Calculer l'intérêt produit et la valeur acquise (année de $360$ jours)."
• Calcul de la valeur acquise : Après avoir calculé $I$, tu dois déterminer $Va$.
  • Exemple d'annale : (Suite de la question précédente) "Déterminer la valeur acquise (montant à rembourser)."
• Recherche d'un élément inconnu : Parfois, $I$ ou $Va$ est donné, et tu dois trouver $C$, $t$ ou $n$. Cela implique de manipuler la formule.
  • Exemple (non tiré d'annale mais possible) : "Un capital de $X$ DH placé à 5% pendant 6 mois a rapporté 1000 DH d'intérêts. Calculer $X$."
• Calcul du taux moyen : Si plusieurs placements sont présentés.
  • Exemple (non tiré d'annale mais possible) : "Une entreprise a placé 20 000 DH à 4% pendant 3 mois et 30 000 DH à 5% pendant 6 mois. Calculer le taux moyen de ces placements."

Le barème est généralement attribué pour :

• La justesse des calculs : C'est le point principal.
• L'application correcte des formules : Montrer les formules utilisées.
• La cohérence des unités : Ne pas mélanger les jours et les mois sans conversion.

Sois rigoureux dans tes calculs et ta présentation. C'est un chapitre qui permet de marquer des points facilement si tu maîtrises les bases.