Transmission de mouvement

L'intuition

Imagine que tu es en train de préparer un thé à la menthe. Tu as une petite cuillère et une grande cuillère. Si tu veux mélanger le sucre dans ton verre, tu peux utiliser la petite cuillère et faire beaucoup de tours rapidement. Ou tu peux utiliser la grande cuillère, faire moins de tours, mais déplacer plus de liquide à chaque fois. C'est un peu ça, la transmission de mouvement.

Quand tu pédales ton vélo, tu as plusieurs vitesses. Si tu montes une côte, tu choisis une petite vitesse : tu pédales beaucoup (haute fréquence de rotation), mais avec moins d'effort (faible couple) sur les pédales, et la roue tourne moins vite. Si tu es sur du plat et que tu veux aller vite, tu passes une grande vitesse : tu pédales moins (basse fréquence de rotation), mais avec plus d'effort (couple élevé), et la roue tourne très vite.

Le principe est de changer la vitesse de rotation ou l'effort (le couple) entre un élément qui fournit le mouvement (le moteur, tes jambes) et un élément qui reçoit le mouvement (la roue, le mélangeur). On peut aussi transformer un mouvement de rotation en un mouvement de translation, comme quand tu tournes une manivelle pour monter une charge. L'objectif est toujours d'adapter le mouvement à ce qu'on veut faire.

Le cours

La transmission de mouvement est l'ensemble des mécanismes qui permettent de transférer l'énergie mécanique d'un point à un autre, en modifiant généralement les caractéristiques du mouvement (vitesse, couple, nature du mouvement).

I. Rapports de transmission et de réduction

Le rapport de transmission $r$ (ou rapport d'engrenage) est une grandeur sans dimension qui caractérise la modification de la vitesse de rotation entre l'entrée et la sortie d'un système.

A. Systèmes à roues dentées (engrenages)

Pour deux roues dentées en prise directe (engrenage simple) : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}}$

Où :

• $N$ représente la fréquence de rotation (en tr/min ou Hz).
• $\omega$ représente la vitesse angulaire (en rad/s).

Le rapport de transmission peut aussi être exprimé en fonction du nombre de dents $Z$ des roues : $r = \frac{Z_{menant}}{Z_{mené}}$

Attention au sens : La roue menante est celle qui transmet le mouvement, la roue menée est celle qui le reçoit. Si $r > 1$, on a une multiplication de vitesse (démultiplication de couple). Si $r < 1$, on a une réduction de vitesse (multiplication de couple).

Train d'engrenages : Pour un ensemble de roues en série (train d'engrenages), le rapport de transmission global $r_{global}$ est le produit des rapports de transmission de chaque étage, ou plus directement : $r_{global} = \frac{\text{Produit des nombres de dents des roues menantes}}{\text{Produit des nombres de dents des roues menées}}$

Exemple : Un train d'engrenages avec une roue menante $Z_1$ entraînant une roue menée $Z_2$, qui est solidaire d'une roue menante $Z_3$ entraînant une roue menée $Z_4$. $r_{global} = \frac{Z_1 \cdot Z_3}{Z_2 \cdot Z_4}$

B. Systèmes à poulies et courroies

Pour un système poulies-courroie, le rapport de transmission est donné par le rapport des diamètres $D$ des poulies : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}} = \frac{D_{menant}}{D_{mené}}$

Où :

• $D_{menant}$ est le diamètre de la poulie motrice (qui entraîne).
• $D_{mené}$ est le diamètre de la poulie réceptrice (qui est entraînée).

II. Relations entre vitesses, couples et puissances

A. Relations vitesses et couples (sans pertes)

En l'absence de pertes (rendement $\eta = 1$), la puissance mécanique est conservée. $P_{entrée} = P_{sortie}$

Sachant que la puissance $P$ est le produit du couple $C$ par la vitesse angulaire $\omega$ : $P = C \cdot \omega$

On a donc : $C_{entrée} \cdot \omega_{entrée} = C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}$

D'où : $C_{sortie} = C_{entrée} \cdot \frac{\omega_{entrée}}{\omega_{sortie}}$

Et comme $r = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}}$, on obtient : $C_{sortie} = \frac{C_{entrée}}{r}$

Cela signifie qu'une réduction de vitesse ($r < 1$) entraîne une augmentation du couple de sortie, et inversement. C'est le principe des boîtes de vitesses.

B. Prise en compte du rendement

Dans la réalité, il y a toujours des pertes d'énergie (frottements, chaleur). Le rendement $\eta$ est le rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée : $\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{entrée}}$

Donc : $P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée}$ $C_{sortie} \cdot \omega_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} \cdot \omega_{entrée}$ $C_{sortie} = \eta \cdot \frac{C_{entrée}}{r}$

Le rendement global d'une chaîne de transmission est le produit des rendements de chaque composant. $\eta_{global} = \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \dots \cdot \eta_n$

III. Transformation de mouvement

Certains mécanismes transforment un mouvement de rotation en un mouvement de translation, ou inversement.

A. Système vis-écrou

Un système vis-écrou transforme un mouvement de rotation de la vis en un mouvement de translation de l'écrou (ou inversement). Le déplacement linéaire $L$ de l'écrou pour un nombre de tours $N_{vis}$ de la vis est donné par : $L = N_{vis} \cdot p_v$

Où $p_v$ est le pas de la vis (distance parcourue par l'écrou pour un tour complet de la vis).

La vitesse de translation $V$ de l'écrou est liée à la fréquence de rotation $N_{vis}$ de la vis par : $V = N_{vis} \cdot p_v$ (si $N_{vis}$ est en tr/s et $p_v$ en m, alors $V$ est en m/s) Ou $V = \frac{N_{vis}}{60} \cdot p_v$ (si $N_{vis}$ est en tr/min et $p_v$ en mm, alors $V$ est en mm/s)

B. Système pignon-crémaillère

Un pignon (roue dentée) engrène avec une crémaillère (barre dentée). La rotation du pignon entraîne la translation de la crémaillère. Le déplacement linéaire $L$ de la crémaillère pour un angle de rotation $\theta_{pignon}$ du pignon est : $L = R_{pignon} \cdot \theta_{pignon}$ (où $\theta_{pignon}$ est en radians)

Ou, pour un nombre de tours $N_{pignon}$ du pignon : $L = N_{pignon} \cdot \pi \cdot D_{pignon}$ (où $D_{pignon}$ est le diamètre primitif du pignon)

La vitesse de translation $V$ de la crémaillère est liée à la vitesse angulaire $\omega_{pignon}$ du pignon par : $V = R_{pignon} \cdot \omega_{pignon}$

Où $R_{pignon}$ est le rayon primitif du pignon.

Exemple résolu

Reprenons un extrait d'annale :

Tâche 21 : Comportement cinématique du mécanisme d'entraînement de la bobine. Données: Rapport de transmission $r = 0,24$. Vitesse de défilement du câble $V_d = 1$ m/s. a. Calculer, d'après la modélisation ci-dessous, la vitesse angulaire $\omega_B$ (rad/s) de la bobine à un instant donné et en déduire sa fréquence de rotation $N_B$ (tr/min). On donne : Diamètre instantané d’enroulement $D_i = 397,88$ mm. /1,5pt b. Déterminer la fréquence de rotation $N_{M1}$ (tr/min) du moteur M1 : /1 pt

Modélisation : Le câble défile sur la bobine. La vitesse de défilement du câble est égale à la vitesse tangentielle de la bobine.

Résolution :

a. Calcul de $\omega_B$ et $N_B$ : La vitesse de défilement du câble $V_d$ est la vitesse tangentielle de la bobine. La relation entre vitesse tangentielle $V$, vitesse angulaire $\omega$ et rayon $R$ est $V = R \cdot \omega$. Ici, le rayon de la bobine est $R_B = D_i / 2$. Donc, $V_d = (D_i / 2) \cdot \omega_B$.

On a $V_d = 1$ m/s et $D_i = 397,88$ mm $= 0,39788$ m.

$\omega_B = \frac{V_d}{D_i / 2} = \frac{2 \cdot V_d}{D_i}$ $\omega_B = \frac{2 \cdot 1 \text{ m/s}}{0,39788 \text{ m}} \approx 5,026 \text{ rad/s}$

Pour convertir la vitesse angulaire $\omega_B$ (rad/s) en fréquence de rotation $N_B$ (tr/min), on utilise la relation : $\omega = \frac{2 \pi N}{60}$ (où $N$ est en tr/min et $\omega$ en rad/s) Donc, $N_B = \frac{\omega_B \cdot 60}{2 \pi}$ $N_B = \frac{5,026 \cdot 60}{2 \pi} \approx 48,00 \text{ tr/min}$

b. Détermination de $N_{M1}$ : Le rapport de transmission $r$ est donné entre le moteur M1 (entrée) et la bobine (sortie). $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{N_B}{N_{M1}}$ On a $r = 0,24$ et $N_B = 48$ tr/min.

$N_{M1} = \frac{N_B}{r}$ $N_{M1} = \frac{48 \text{ tr/min}}{0,24} = 200 \text{ tr/min}$

La méthode

Pour résoudre les problèmes de transmission de mouvement, suis ces étapes :

1. Identifier le système : Est-ce un engrenage, une poulie-courroie, une vis-écrou, un pignon-crémaillère ? Chaque système a ses propres formules.
2. Identifier l'entrée et la sortie : Qui est le menant ? Qui est le mené ? C'est crucial pour le rapport de transmission.
3. Lister les données connues et inconnues : Écris clairement ce que tu as et ce que tu cherches. Convertis toutes les unités dans un système cohérent (par exemple, SI : mètres, secondes, radians, Newtons, Watts).
4. Choisir la bonne formule de rapport de transmission $r$ :
   • Engrenages : $r = Z_{menant} / Z_{mené}$
   • Poulies-courroies : $r = D_{menant} / D_{mené}$
   • Pour un train : $r = (\text{Produit des } Z_{menants}) / (\text{Produit des } Z_{menés})$
5. Relier les vitesses : Utilise $r = N_{sortie} / N_{entrée}$ ou $r = \omega_{sortie} / \omega_{entrée}$ pour trouver une vitesse inconnue.
6. Relier les couples (si nécessaire) : Si les pertes sont négligées, $C_{sortie} = C_{entrée} / r$. Si le rendement $\eta$ est donné, $C_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} / r$.
7. Calculer les puissances (si nécessaire) : $P = C \cdot \omega$. N'oublie pas le rendement si tu passes de l'entrée à la sortie. $P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée}$.
8. Pour les transformations rotation-translation :
   • Vis-écrou : $L = N_{vis} \cdot p_v$ ou $V = N_{vis} \cdot p_v$.
   • Pignon-crémaillère : $L = R_{pignon} \cdot \theta_{pignon}$ ou $V = R_{pignon} \cdot \omega_{pignon}$.
9. Vérifier les unités et la cohérence des résultats : Un rapport de réduction doit donner une vitesse de sortie inférieure à la vitesse d'entrée, et un couple de sortie supérieur.

Pièges classiques

1. Inversion du rapport de transmission : C'est l'erreur la plus fréquente. Toujours se rappeler $r = \text{sortie} / \text{entrée}$. Pour les dents et diamètres, c'est $Z_{menant} / Z_{mené}$ ou $D_{menant} / D_{mené}$. Si tu inverses, tout le reste est faux.
   • Contre-exemple : Tu as un moteur (menant) avec $Z_{menant}=20$ dents qui entraîne une roue (menée) avec $Z_{mené}=60$ dents.
     • Erreur : $r = Z_{mené} / Z_{menant} = 60/20 = 3$. Cela impliquerait que la roue menée tourne 3 fois plus vite que le moteur, ce qui est absurde pour une roue plus grande.
     • Correct : $r = Z_{menant} / Z_{mené} = 20/60 = 1/3$. La roue menée tourne 3 fois moins vite, ce qui est logique.
2. Oubli des unités ou conversions incorrectes :
   • Vitesse angulaire $\omega$ doit être en rad/s pour $P = C \cdot \omega$. Si tu as des tr/min, convertis : $N \text{ (tr/min)} \rightarrow \omega = \frac{2 \pi N}{60} \text{ (rad/s)}$.
   • Diamètres et pas doivent être dans la même unité que les vitesses linéaires (mm avec mm/s, m avec m/s).
   • Couple en N.m, puissance en Watts.
3. Négliger le rendement : Si le rendement $\eta$ est donné, il doit être utilisé. Ne pas l'inclure surestime la puissance ou le couple de sortie.
   • Contre-exemple : Calculer $C_{sortie} = C_{entrée} / r$ alors que $\eta$ est donné. La bonne formule est $C_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} / r$.
4. Confusion entre diamètre primitif et diamètre extérieur : Pour les calculs de transmission, on utilise toujours le diamètre primitif des engrenages ou le diamètre des poulies sur lequel repose la courroie.
5. Erreur dans le calcul du rapport global pour un train d'engrenages : Ne pas oublier de prendre en compte toutes les roues menantes et menées. Les roues intermédiaires (folles) ne changent pas le rapport global si elles ne sont pas solidaires d'autres roues menantes.

Ce qui tombe à l'examen

Le chapitre sur la transmission de mouvement est un pilier de la partie Mécanique (environ 30% de l'examen). Les questions sont principalement axées sur le calcul et l'analyse.

1. Calcul du rapport de transmission (r) :

   • Pour des engrenages simples ou des trains d'engrenages. On te donnera les nombres de dents ($Z$).
   • Pour des systèmes poulies-courroies. On te donnera les diamètres ($D$).
   • Barème : Généralement 1 à 2 points. Une erreur ici peut propager des erreurs dans les questions suivantes.

2. Calcul des vitesses de rotation (N ou $\omega$) :

   • À partir du rapport de transmission et d'une vitesse d'entrée ou de sortie connue.
   • Conversion entre tr/min et rad/s est très fréquente.
   • Barème : 1 à 2 points par calcul.

3. Calcul des couples (C) :

   • En utilisant la relation $C_{sortie} = C_{entrée} / r$ (sans pertes) ou $C_{sortie} = \eta \cdot C_{entrée} / r$ (avec rendement).
   • Barème : 1 à 1,5 points.

4. Calcul des puissances (P) :

   • $P = C \cdot \omega$. Souvent, on te demandera la puissance utile (sortie) ou la puissance nécessaire au moteur (entrée), en tenant compte du rendement.
   • Barème : 1 à 2 points.

5. Transformation rotation-translation :

   • Calcul de vitesse linéaire ($V$) ou de déplacement ($L$) à partir de la rotation d'une vis-écrou ou d'un pignon-crémaillère.
   • Barème : 1 à 1,5 points.

6. Analyse et validation :

   • Comparer une valeur calculée (par exemple, la puissance du moteur nécessaire) avec une donnée constructeur pour valider un choix.
   • Justifier la conformité d'une vitesse ou d'un couple par rapport à un cahier des charges.
   • Barème : 0,5 à 1 point pour la conclusion et la justification.

Exemples de questions tirées d'annales (comme celles fournies) :

• "Calculer la vitesse angulaire $\omega_B$ (rad/s) de la bobine... et en déduire sa fréquence de rotation $N_B$ (tr/min)." (Tâche 21.a)
• "Déterminer la fréquence de rotation $N_{M1}$ (tr/min) du moteur M1." (Tâche 21.b)
• "Montrer que la vitesse de déplacement axial alternatif de la poulie guide-câble le long de la bobine est $V_a = 480$ mm/min..." (Tâche 22.a)
• "Calculer la puissance utile $P_u$ (en kW) au niveau de la poulie folle... et en déduire la puissance $P_{30}$ (en kW) au niveau de la poulie 30..." (Corrigé officiel 2024, Tâche 21.d)
• "Calculer la puissance mécanique $P_m$ (en kW), du moteur électrique MR2..." (Corrigé officiel 2024, Tâche 21.e)
• "Déterminer le rapport de transmission global $r_g$ entre le moteur (ME) et l’arbre (23)." (Corrigé officiel 2023, Tâche 2.1.c)

Ces questions demandent une application directe des formules et une bonne gestion des unités. La clarté de la démarche de calcul est toujours valorisée.