Transmission de mouvement

L'intuition

Imagine que tu es en vélo. Quand tu montes une côte raide, tu as besoin de plus de force (couple), mais tu vas moins vite. Pour ça, tu changes de vitesse : tu passes sur un petit pignon à l'avant et un grand pignon à l'arrière. C'est ça, la transmission de mouvement : adapter la vitesse et la force (le couple) entre le pédalier (l'entrée) et la roue arrière (la sortie).

À l'inverse, si tu es sur du plat et que tu veux aller vite, tu choisis un grand pignon à l'avant et un petit à l'arrière. Tu pédales plus fort mais tu vas plus vite.

En Sciences de l'Ingénieur, on va formaliser ces changements de vitesse et de couple avec des rapports de transmission, des formules de puissance, et on va voir comment différents mécanismes (engrenages, poulies-courroies, vis-écrou, pignon-crémaillère) permettent de faire ça, et même de transformer des rotations en translations.

Le cours

Le chapitre sur la transmission de mouvement est fondamental en Sciences de l'Ingénieur. Il s'agit d'étudier comment un mouvement (rotation ou translation) est transféré d'un élément à un autre, en modifiant ses caractéristiques (vitesse, couple, sens, nature).

I. Rappels sur le mouvement de rotation

Un corps en rotation est caractérisé par :

• Vitesse angulaire $\omega$ (en $\text{rad/s}$) : $\omega = \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$.
• Fréquence de rotation $N$ (en $\text{tr/s}$ ou $\text{tr/min}$) :
  • Si $\omega$ est en $\text{rad/s}$, alors $N_{\text{tr/s}} = \frac{\omega}{2\pi}$.
  • Si $N$ est en $\text{tr/min}$, alors $N_{\text{tr/min}} = \frac{60 \cdot \omega}{2\pi}$.
• Couple $C$ (en $\text{N.m}$) : force de rotation.
• Puissance mécanique $P$ (en Watts) : $P = C \cdot \omega$.

II. Systèmes de transmission de mouvement par rotation

Ces systèmes permettent de transmettre un mouvement de rotation d'un arbre d'entrée à un arbre de sortie, en modifiant la vitesse et le couple.

A. Engrenages

Un engrenage est constitué de deux roues dentées (pignons) qui engrènent.

• Roue menante (ou motrice) : celle qui transmet le mouvement.
• Roue menée (ou réceptrice) : celle qui reçoit le mouvement.
• Nombre de dents $Z$.

1. Rapport de transmission $r$ Le rapport de transmission $r$ est défini comme le rapport de la vitesse de sortie sur la vitesse d'entrée. Pour un engrenage simple : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}} = \frac{Z_{menant}}{Z_{mené}}$

   • Si $r > 1$, c'est un multiplicateur de vitesse (réduction de couple).
   • Si $r < 1$, c'est un réducteur de vitesse (multiplication de couple).
   • Si $r = 1$, c'est un transmetteur de vitesse (même vitesse, même couple).

   Remarque sur le sens de rotation : Dans un engrenage simple, le sens de rotation de la roue menée est opposé à celui de la roue menante.

2. Train d'engrenages Un train d'engrenages est une succession d'engrenages. Le rapport de transmission global est le produit des rapports de transmission de chaque étage. Pour un train simple (chaque roue menée est menante pour la suivante), ou pour un train composé (avec des roues intermédiaires ou des roues solidaires sur un même arbre), la formule générale est : $r_{global} = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\text{Produit des nombres de dents des roues menantes}}{\text{Produit des nombres de dents des roues menées}}$

   Il faut bien identifier les roues menantes et menées qui contribuent au rapport global. Les roues intermédiaires (qui ne sont ni menantes initiales, ni menées finales, et qui ne sont pas solidaires d'un arbre transmettant le mouvement) ne changent pas le rapport global, seulement le sens de rotation.

B. Poulies-courroies

Ce système utilise deux poulies reliées par une courroie.

• Diamètre $D$.

• Rapport de transmission $r$ : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}} = \frac{D_{menante}}{D_{menée}}$

  Remarque sur le sens de rotation : Avec une courroie non croisée, le sens de rotation est conservé. Avec une courroie croisée, le sens est inversé.

C. Conservation de la puissance et relation couple-vitesse

Dans un système de transmission idéal (sans pertes dues aux frottements) :

• Puissance d'entrée = Puissance de sortie : $P_{entrée} = P_{sortie}$

• Donc $C_{entrée} \cdot \omega_{entrée} = C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}$

• En utilisant le rapport de transmission $r = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}}$ : $C_{sortie} = C_{entrée} \cdot \frac{\omega_{entrée}}{\omega_{sortie}} = C_{entrée} \cdot \frac{1}{r}$

  Si le système est un réducteur de vitesse ($r < 1$), le couple est multiplié ($C_{sortie} > C_{entrée}$). C'est le cas du vélo en côte.

III. Systèmes de transformation de mouvement

Ces systèmes convertissent un mouvement de rotation en un mouvement de translation, ou inversement.

A. Système vis-écrou

Une vis tourne (mouvement de rotation) et entraîne un écrou en translation (ou l'inverse).

• Pas de la vis $p$ (en $\text{mm/tour}$ ou $\text{m/tour}$) : distance parcourue par l'écrou pour un tour complet de la vis.

• Vitesse de translation $V_{translation}$ (en $\text{mm/s}$ ou $\text{m/s}$).

• Vitesse de rotation $N_{rotation}$ (en $\text{tr/s}$). $V_{translation} = N_{rotation} \cdot p$

  Si $N_{rotation}$ est en $\text{tr/min}$, alors $V_{translation} = \frac{N_{rotation} \cdot p}{60}$.

B. Système pignon-crémaillère

Un pignon (roue dentée) tourne et entraîne une crémaillère (barre dentée) en translation.

• Diamètre primitif du pignon $D_p$.

• Vitesse de translation $V_{crémaillère}$ (en $\text{m/s}$).

• Vitesse de rotation du pignon $\omega_{pignon}$ (en $\text{rad/s}$) ou $N_{pignon}$ (en $\text{tr/min}$). La vitesse linéaire d'un point sur le diamètre primitif du pignon est égale à la vitesse de la crémaillère : $V_{crémaillère} = \omega_{pignon} \cdot \frac{D_p}{2}$

  Si $N_{pignon}$ est en $\text{tr/min}$ : $V_{crémaillère} = \frac{N_{pignon} \cdot \pi \cdot D_p}{60}$

IV. Rendement

Dans la réalité, il y a toujours des pertes d'énergie (frottements, échauffement). Le rendement $\eta$ est le rapport de la puissance utile (sortie) sur la puissance fournie (entrée) :

$\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{entrée}} = \frac{C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}}{C_{entrée} \cdot \omega_{entrée}}$

Le rendement est toujours inférieur à 1 ($\eta < 1$).

Exemple résolu

Prenons un extrait d'annale pour appliquer ces notions. Contexte : Une poinçonneuse automatique multi-poinçons. On étudie la chaîne de transmission du moteur vers l'arbre de frappe. Données (extraites de l'annale 2025, session normale) :

• Le rapport global de transmission $k_g$ est donné par $k_g = k_{rdp} \cdot k_{corn}$.
• $k_{rdp} = \frac{1}{120}$ (rapport du réducteur de frappe).
• $k_{corn} = 0.27$ (rapport de la transmission à courroie).
• La vitesse de l'arbre de frappe est $N_{arbre} = 800 \text{ tr/min}$.

Q.10. Calcul du rapport global de transmission $k_g$. On te donne la formule $k_g = k_{rdp} \cdot k_{corn}$. Il suffit d'appliquer. $k_g = \frac{1}{120} \cdot 0.27$ $k_g = 0.008333 \cdot 0.27$ $k_g = 0.00225$

Q.11. Calcul de la vitesse de rotation $N_m$ (en $\text{tr/min}$) du moteur $M_p$. Le rapport global de transmission $k_g$ est défini comme le rapport de la vitesse de sortie sur la vitesse d'entrée. Ici, la sortie est l'arbre de frappe et l'entrée est le moteur. $k_g = \frac{N_{arbre}}{N_m}$ Donc, pour trouver la vitesse du moteur $N_m$, on réarrange la formule : $N_m = \frac{N_{arbre}}{k_g}$ $N_m = \frac{800}{0.00225}$ $N_m \approx 355555.56 \text{ tr/min}$

Attention : Le corrigé officiel de l'annale mentionne $N_m = \frac{800}{0.27} = 2962.96 \text{ tr/min}$. Cela implique que dans le contexte de cette annale spécifique, $k_g$ était en fait $k_{corn}$ seul, ou que $k_{rdp}$ était déjà inclus dans $k_{corn}$, ou que la question Q.10 faisait référence à un autre rapport. Il est crucial de toujours bien lire le dossier technique et les définitions données dans l'énoncé. Si l'énoncé donne $k_g = 0.27$ directement pour cette question, alors on utilise cette valeur. Si on doit le calculer comme en Q.10, on utilise le résultat de Q.10. Ici, pour être cohérent avec le corrigé officiel, il faut supposer que $k_g = 0.27$ pour la question Q.11, ce qui est une simplification ou une erreur dans l'énoncé original si $k_g$ devait être calculé comme en Q.10. Pour l'examen, suis toujours les données et les formules exactes de l'énoncé.

Autre exemple : Transformation rotation-translation (Annale 2024, session normale) Contexte : Chariot matelasseur automatique. Déplacement du chariot par un système pignon-crémaillère. Données :

• Vitesse du chariot $V_{ch} = 0.5 \text{ m/s}$.
• Diamètre primitif du pignon $D_p = 0.1 \text{ m}$.

Q.25. Déduction de la valeur de la vitesse réelle $V_{ch}$ (en $\text{m/s}$) de déplacement du chariot. L'énoncé donne $V_{ch} = \omega_{cax} \cdot \frac{D_p}{2}$. Si $\omega_{cax} = 5 \pi \text{ rad/s}$ (valeur calculée dans une question précédente de l'annale). $V_{ch} = 5 \pi \cdot \frac{0.1}{2}$ $V_{ch} = 5 \pi \cdot 0.05$ $V_{ch} = 0.25 \pi \text{ m/s} \approx 0.785 \text{ m/s}$. Le corrigé officiel donne $V_{ch} = 500 \text{ mm/s} = 0.5 \text{ m/s}$. Cela signifie que la valeur de $\omega_{cax}$ utilisée dans le corrigé est différente, ou que la formule est appliquée avec un facteur de correction. Encore une fois, il est essentiel de se référer aux données exactes de l'énoncé. Si $V_{ch}$ est donnée comme $0.5 \text{ m/s}$, on l'utilise. Si on doit la calculer, on utilise les données fournies pour le calcul.

La méthode

Pour résoudre les problèmes de transmission de mouvement, suis ces étapes :

1. Identifier le type de transmission :

   • Rotation-rotation (engrenages, poulies-courroies).
   • Rotation-translation (vis-écrou, pignon-crémaillère).
   • Transformation de mouvement (bielle-manivelle, came-tige, etc. – moins fréquent à l'examen mais possible).

2. Définir l'entrée et la sortie du système :

   • Quelle est la roue/poulie/vis menante (entrée) ?
   • Quelle est la roue/poulie/écrou/crémaillère menée (sortie) ?

3. Écrire la formule du rapport de transmission $r$ ou de la relation vitesse/déplacement :

   • Engrenages : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{Z_{menant}}{Z_{mené}}$. Pour un train, $r_{global} = \frac{\text{Produit des } Z_{menants}}{\text{Produit des } Z_{menés}}$.
   • Poulies-courroies : $r = \frac{N_{sortie}}{N_{entrée}} = \frac{D_{menante}}{D_{menée}}$.
   • Vis-écrou : $V_{translation} = N_{rotation} \cdot p$ (avec $N_{rotation}$ en $\text{tr/s}$).
   • Pignon-crémaillère : $V_{crémaillère} = \omega_{pignon} \cdot \frac{D_p}{2}$ ou $V_{crémaillère} = \frac{N_{pignon} \cdot \pi \cdot D_p}{60}$.

4. Convertir les unités si nécessaire :

   • $\text{tr/min}$ en $\text{tr/s}$ ou $\text{rad/s}$.
   • $\text{mm}$ en $\text{m}$.
   • $\text{N.m}$ pour le couple.
   • $\text{Watts}$ pour la puissance.

5. Appliquer la conservation de puissance (si le rendement n'est pas donné ou si le système est idéal) :

   • $P_{entrée} = P_{sortie} \implies C_{entrée} \cdot \omega_{entrée} = C_{sortie} \cdot \omega_{sortie}$.
   • Si le rendement $\eta$ est donné : $P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée}$.

6. Calculer la grandeur demandée :

   • Vitesse de sortie, couple de sortie, puissance, etc.

7. Vérifier la cohérence du résultat :

   • Si c'est un réducteur de vitesse, la vitesse de sortie doit être inférieure à celle d'entrée, et le couple de sortie supérieur.
   • Si c'est un multiplicateur, l'inverse.
   • Le sens de rotation est-il logique (engrenages, courroies croisées/non croisées) ?

Pièges classiques

• Inversion du rapport de transmission : Toujours bien définir $N_{sortie}/N_{entrée}$ et les termes correspondants ($Z_{menant}/Z_{mené}$ ou $D_{menante}/D_{menée}$). Une erreur de signe ou d'inversion des termes est fréquente et coûte cher.
• Unités : Ne pas oublier de convertir les $\text{tr/min}$ en $\text{tr/s}$ ou $\text{rad/s}$ pour les calculs de vitesse linéaire ou de puissance. Le pas $p$ de la vis est souvent donné en $\text{mm/tour}$, il faut le convertir en $\text{m/tour}$ si les vitesses sont en $\text{m/s}$.
• Roue intermédiaire : Dans un train d'engrenages, une roue intermédiaire ne modifie pas le rapport de transmission global, mais elle inverse le sens de rotation. Ne l'inclue pas dans le calcul du rapport global des dents si elle n'est pas menante ou menée d'un étage crucial.
• Rendement : Oublier le rendement ou l'appliquer dans le mauvais sens. La puissance de sortie est toujours inférieure à la puissance d'entrée ($P_{sortie} = \eta \cdot P_{entrée}$).
• Lecture du dossier technique : Les annales montrent que les définitions des rapports ($k_g$, $k_{rdp}$, $k_{corn}$) peuvent varier ou être spécifiques à un cas. Toujours se fier aux définitions et aux données fournies dans l'énoncé pour éviter les contresens.

Ce qui tombe à l'examen

Les questions sur la transmission de mouvement sont très fréquentes et représentent une part significative de la section mécanique. Elles sont souvent intégrées dans l'étude d'un système pluritechnologique.

Voici les formats de questions réels et leur barème typique :

1. Calcul du rapport de transmission ($r$ ou $k$) :

   • Exemple : "Q.10. Calcul du rapport global de transmission $k_g$." (0.5 pt - 1 pt)
   • Tu devras identifier les éléments menants et menés, compter les dents ou mesurer les diamètres, puis appliquer la formule $r = \frac{Z_{menant}}{Z_{mené}}$ ou $r = \frac{D_{menante}}{D_{menée}}$.

2. Déduction de vitesses de rotation ou de translation :

   • Exemple : "Q.11. Déduction de $N_m$ en ($\text{tr/min}$)." (1 pt - 1.5 pt)
   • Exemple : "Q.23. Déduction de la vitesse de déplacement du vérin $V_d$ en ($\text{m/s}$)." (1 pt - 1.5 pt)
   • Ces questions nécessitent d'utiliser le rapport de transmission calculé précédemment, ou la relation vitesse-pas pour vis-écrou, ou vitesse-diamètre primitif pour pignon-crémaillère.

3. Calcul de couples ou de puissances :

   • Exemple : "Q.11. Calcul de la puissance $P_c$ (en W) développée par le système {(P),(C)}." (1 pt - 1.5 pt)
   • Exemple : "Q.12. Calcul de la puissance fournie par le moteur $P_m$ (en W)." (1 pt - 1.5 pt)
   • Tu appliqueras les formules $P = C \cdot \omega$ et la relation $C_{sortie} = C_{entrée} \cdot \frac{1}{r}$ (avec ou sans rendement).

4. Vérification de la conformité ou de la capacité :

   • Exemple : "Q.12. Capacité du moteur à fournir cette vitesse de rotation et justification." (0.5 pt - 1 pt)
   • Exemple : "Q.18. Conformité de $t_s$ avec la durée proposée par le constructeur de la P.A.M et justification." (0.5 pt - 1 pt)
   • Tu compareras un résultat calculé avec une donnée constructeur ou une spécification, et tu justifieras ta conclusion.

5. Identification de la nature de la transmission :

   • Exemple : "Q.27. Identification de la nature de la transmission de mouvement (Adhérence ou Obstacle) des différents composants de la chaîne de transmission du chariot matelasseur." (0.5 pt - 1 pt)
   • Tu devras reconnaître si la transmission se fait par contact direct (obstacle, comme les engrenages) ou par frottement (adhérence, comme les poulies-courroies sans dents).

6. Analyse fonctionnelle et structurelle (liée aux transmissions) :

   • Exemple : "Q.05. Chaîne de transmission du dispositif de déroulement rouleau de tissu." (1 pt)
   • Exemple : "Q.06. Le sens de rotation des rouleaux d’entraînement $R_{e7}$ et $R_{e8}$." (0.5 pt)
   • Ces questions te demandent de schématiser une chaîne d'énergie, d'identifier les composants d'une transmission, ou d'analyser le sens de rotation.

Ces questions sont souvent enchaînées, le résultat d'une question servant de donnée pour la suivante. La rigueur dans les calculs et la clarté des justifications sont primordiales.